【反三角角函数公式】在数学中，反三角函数是三角函数的反函数，用于求解角度的大小。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。它们在解析几何、微积分和工程计算中有着广泛的应用。以下是对常见反三角函数公式的总结。
一、基本定义
| 函数名称 | 符号表示 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | arcsin(x) | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| 反余弦 | arccos(x) | [-1, 1] | [0, π] |
| 反正切 | arctan(x) | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
二、常用公式
1. 反三角函数与三角函数的关系
| 公式 | 说明 |
| sin(arcsin(x)) = x | 当x ∈ [-1, 1] |
| cos(arccos(x)) = x | 当x ∈ [-1, 1] |
| tan(arctan(x)) = x | 当x ∈ (-∞, +∞) |
| arcsin(sin(x)) = x | 当x ∈ [-π/2, π/2] |
| arccos(cos(x)) = x | 当x ∈ [0, π] |
| arctan(tan(x)) = x | 当x ∈ (-π/2, π/2) |
2. 互为补角关系
| 公式 | 说明 |
| arcsin(x) + arccos(x) = π/2 | 对所有x ∈ [-1, 1] |
| arctan(x) + arccot(x) = π/2 | 对所有x ∈ ℝ |
3. 对称性与奇偶性
| 公式 | 说明 |
| arcsin(-x) = -arcsin(x) | 奇函数 |
| arccos(-x) = π - arccos(x) | 非奇非偶 |
| arctan(-x) = -arctan(x) | 奇函数 |
4. 相关导数公式（微积分应用）
| 函数 | 导数 |
| d/dx [arcsin(x)] | 1 / √(1 - x²) |
| d/dx [arccos(x)] | -1 / √(1 - x²) |
| d/dx [arctan(x)] | 1 / (1 + x²) |
三、特殊值表
| x | arcsin(x) | arccos(x) | arctan(x) |
| 0 | 0 | π/2 | 0 |
| 1/2 | π/6 | π/3 | π/6 |
| √2/2 | π/4 | π/4 | π/4 |
| √3/2 | π/3 | π/6 | π/3 |
| 1 | π/2 | 0 | π/4 |
四、应用场景简述
反三角函数常用于：
- 解三角形问题（如已知边长求角度）
- 积分运算中处理某些形式的积分
- 工程与物理中的角度计算
- 计算复数的幅角
通过掌握这些基本公式和性质，可以更有效地运用反三角函数解决实际问题。在学习过程中，建议结合图形理解其定义域和值域的变化规律，以增强对函数特性的直观认识。
