【离散分布的期望和方差怎么求】在概率论与数理统计中，离散分布是描述随机变量取有限或可数无限个值的概率分布。对于离散型随机变量，我们常需要计算其期望（数学期望）和方差，以了解其集中趋势和离散程度。本文将对常见的离散分布的期望和方差进行总结，并通过表格形式直观展示。
一、期望的定义
设 $ X $ 是一个离散型随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则其期望（或称均值）为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
二、方差的定义
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度，定义为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见离散分布的期望与方差
以下是一些常见的离散分布及其期望和方差的计算公式：
| 分布名称 | 概率质量函数（PMF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 0-1分布 | $ P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k} $，$ k=0,1 $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $，$ k=1,2,\ldots $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1} $ |
四、小结
在实际应用中，掌握不同离散分布的期望和方差有助于我们更好地理解数据的特征和行为。无论是从理论分析还是实际建模的角度来看，这些数值都是重要的统计指标。
通过上述表格，可以快速查阅各种离散分布的期望和方差，便于在学习或工作中灵活运用。同时，建议结合具体案例进行练习，以加深对概念的理解。
